Zelf was ze zich als docent “helemaal niet bewust” van de problemen die ze vond tijdens haar promotieonderzoek naar breukenonderwijs dat ze uitvoerde aan de TU/e bij het instituut Eindhoven School of Education. Na haar studie Applied Mathematics aan de TU Delft en vier jaar werkervaring als cryptograaf bij SafeNet, gaf Bruin-Muurling (1975) voor haar promotieonderzoek les aan een middelbare school. “Leerlingen en docenten geven een andere betekenis aan de woorden die gebruikt worden bij breukenonderwijs. Als docent gebruik je het woord breuk om een rationeel getal aan te geven. Brugklasleerlingen zijn gewend om bij breuk te denken aan een getal tussen nul en een, een deel van een geheel, een puntje van een taart of een stuk van een chocoladereep. Voor mij is een breuk een object waarmee je kunt rekenen. 2/5 is voor mij een rationeel getal, brugklassers denken dat ze er ‘nog iets mee moeten’.”

Van oudsher wordt het leren van breuken als moeilijk ervaren. Uit eerder onderzoek is naar voren gekomen dat veel leerlingen de regels voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen door elkaar halen. In het moderne onderwijs wordt daarom geprobeerd de bewerkingen inzichtelijk op te bouwen. Vaak in verhalende vorm die aansluit bij de belevingswereld van de basisschoolkinderen. De bedoeling is het startpunt te leggen bij informele oplossingsstrategieën van de leerlingen zelf. Zo kan gevraagd worden hoeveel liter melk een kok heeft wanneer hij zes flesjes van driekwart liter in een pan giet. Een leerling vat dit op als het herhaald optellen van ¾, ofwel 6 x ¾ = ¾ + ¾ + ¾ + ¾ + ¾ + ¾. Na deze eerste stap is het de bedoeling dat de leerlingen via een proces van generaliseren en formaliseren uitkomen op standaardprocedures die ze ook kunnen gebruiken voor het rekenen met zogenaamde onbenoemde getallen (getallen zonder eenheid). Dit proces van generaliseren en formaliseren blijkt veel lastiger en uitgebreider dan de vakdidactische literatuur suggereert, ontdekte Bruin-Muurling. Aan haar onderzoek werkten 1.500 leerlingen van een aantal basisscholen en een middelbare school mee. De analyse van schoolboeken verraste haar. “Het type opgaven is beperkt; leerlingen moeten bijvoorbeeld wel ¾ van 200 uitrekenen, dat op een geheel getal uitkomt, maar niet ¾ van 205.”

Verder ziet ze dat het vermenigvuldigen van breuken in vier soorten wordt verdeeld. “Leerlingen leren strategieën als herhaald optellen, splitsen, een deel-van nemen en via een andere grootheid rekenen. Die verkokering is een valkuil. Leerlingen gebruiken de verschillende methodes puur en alleen bij de soorten sommen waarbij ze deze geleerd hebben. De bedoeling van realistisch rekenen is wel dat er gegeneraliseerd wordt.” Precies op dit punt ontstaat een aansluitingsprobleem tussen basisschool en middelbare school. Op de basisschool worden informele oplossingsstrategieën ingeoefend alsof het de einddoelen zijn en in het voortgezet onderwijs wordt gestart alsof de bovengenoemde generalisatie- en formaliseringsstap al is afgerond. Leraren en schoolboekauteurs lijken zich hier niet van bewust. “Er is een verschil in didactische cultuur van basisschool en middelbare school. Bij het maken van toekomstige leermethoden zal overleg moeten plaatsvinden.”

Naast het tegengaan van verkokering en het verbeteren van lesmethoden is een derde aanbeveling van Bruin-Muurling dat docenten gaan investeren in een hoger abstractieniveau. Die is nodig om de stap naar algebra te maken. Niet alleen de breuken zelf moeten wiskundige objecten worden waarmee leerlingen kunnen redeneren, leerlingen moeten zich ook allerlei verbanden tussen breuken, delen en vermenigvuldigen eigen maken. Leerlingen zouden de onderliggende wiskundige structuur moeten begrijpen, de samenhang tussen verschillende wiskundige begrippen moeten leren en moeten kunnen werken met de ambiguïteit van die begrippen. “Er zijn wel vijf mogelijke perspectieven op de term breuk, maar je kunt ze niet los zien van elkaar. Iets soortgelijks gebeurt bij het = teken. Een basisscholier denkt bij het zien ervan dat er iets moet worden uitgerekend (een procedurele betekenis). In de onderbouw van het havo/vwo kan die drang worden losgelaten, het = teken kan ook betekenen dat wat links staat gelijk is aan wat rechts staat en met die wetenschap kan verder worden gerekend; een relationele betekenis. Zo ambigu moeten leerlingen breuken ook gaan beschouwen.”

Veel van de aanbevelingen van Bruin-Muurling zullen niet over een nacht ijs gaan. Maar bewustzijn van docenten op het probleem is een eerste stap. Nederland is een voorloper in ‘reform mathematics’ . De bundel artikelen waarop Bruin-Muurling op 21 december 2010 is gepromoveerd, zal gepubliceerd worden in internationale vakdidactische tijdschriften. Ondertussen maakt ze een vertaalslag naar de Nederlandse klassen door onder andere lezingen te geven voor basisschooldocenten, wiskundeleraren en wiskundigen.

Bruin-Muurling is sinds januari 2011 onderwijskundedocent bij ESoE. (NS)