Gelazer
Het verhaal begint met cijfers. De mensheid moet deze eerst onder de knie zien te krijgen. En dat gaat in verschillende stappen. De eerste is die van de gehele getallen: één geit, twee krijgers, drie speren. Dan die van de breuken: een gebroken kleitablet bestaat uit twee helften, een dag is een driehonderdvijfenzestigste jaar. Bovenstaande verzamelingen getallen hebben een ding gemeen, je kunt ze op een getallenlijn uitzetten. Kies een afstand als eenheid, de breedte van een duim, de dikte van een kiezel, het maakt niet uit wat. Eén betekent dan één duimbreedte, waar vier kwarten ingaan. Met het ontstaan van de meetkunde begint het gelazer. Hoe kan het nu zo zijn dat je wel de lengte van de schuine zijde van een driehoek kunt tekenen, maar dat deze op de getallenlijn niet bestaat. Neem bijvoorbeeld twee lijnstukken van één en een rechte hoek. De driehoek die daaruit ontstaat heeft een schuine zijde. De lengte heeft een naam: wortel 2, je kunt die lengte ook aanwijzen in die driehoek. Maar wil je diezelfde lengte op een getallenlijn weergeven dan heb je een probleem: het ligt ietsje verder dan 1,4, maar weer ietsje minder ver dan 1,5. 1,41 is te weinig, maar 1,42 weer te veel. Wortel 2 past in hetzelfde rijtje als het monster van Loch Ness en de verschrikkelijke sneeuwman. Met een verschil: het niet-bestaan van het getal is bewezen, en wel ver voor het begin van de jaartelling.
Functies
De calculus laat zich echter niet makkelijk uit het veld slaan. Deze valkuil weet ze te vermijden. De getallenlijn krijgt gewoon aanvulling van een reeks niet-bestaande getallen, de irrationele, en het leven gaat door.
Een functie neemt een getal en voegt daar een ander getal aan toe. Niet zomaar, maar volgens een bepaalde regel. Dat is alles. De implicaties hiervan gaan echter veel verder. Uitgezet in een coördinatenstelsel (twee loodrecht op elkaar staande getallenlijnen) ontstaan allerlei figuren. Strepen, bogen, parabolen, stijgende, dalende en golvende lijnen. Gezien de hoeveelheid vormen die functies kunnen beschrijven, valt het aantal verschillende soorten functies verbazingwekkend mee. Er zijn er niet zoveel! De simpelste is de constante functie, eigenlijk te flauw om mee te doen. Daarna komen de lineaire, kwadratische en allerlei andere machten van het eerste getal. Plus het omgekeerde: de wortel. Vervolgens de exponentiële en hun tegenhanger de logaritmische, en golvende goniometrische Dan heb je het grootste gedeelte wel te pakken.
Valkuilen
De volgende stap die de calculus neemt houdt zich bezig met veranderingen. De geleerden dokterden hiervoor de afgeleide uit. Dit beschrijft de mate waarin de waarde van een functie groeit of daalt. Toegepast op de werkelijke wereld zou je zoiets snelheid noemen. De tegenhanger hiervan heet de integraal van een functie. Gegeven een verandering beschrijft dit gereedschap de vorm van de oorspronkelijke functie.
Zo opgeschreven lijkt het een logisch vervolgverhaal. Toch heeft de calculus heel wat valkuilen moeten overwinnen en nieuwe dingen moeten uitvinden. Bijvoorbeeld het concept limiet. Zonder die zaten we nog steeds vast in Zeno’s paradox. Die beweert dat het onmogelijk is om een bepaalde afstand af te leggen. Immers in een bepaalde tijd leg je de helft van die afstand af, over de helft van de resterende helft doe je weer een bepaalde tijd enzovoorts. Er blijkt dus altijd een helft van een helft over om te overbruggen. Je zou dus nergens ooit kunnen arriveren.
Gesneden koek
Berlinski behandelt de ontstaansgeschiedenis van de calculus. Niet op een simpel droge manier, zoals die op de middelbare school erin gestampt wordt. De schrijver haalt er de hoofdrolspelers bij. Historische figuren als Newton, d’Alembert en Cauchy komen tot leven. Daarnaast is Berlinski van plan om het meeste te halen uit het handjevol letters die hem ter beschikking staan. De merites van dit boek liggen in de beschrijving van de stappen die deze tak van wiskunde heeft moeten nemen. Daarbij is Berlinski’s taalgebruik verre van droog. De ironische situatie duikt op dat het moeilijkste van dit boek niet de wiskunde zelf is, maar het wel zeer plastische taalgebruik. De beginselen van calculus moeten immers gesneden koek zijn voor de bevolking van een instelling als deze.
| A Tour of the Calculus. The Philosophy of Mathematics; David Berlinski; 332 pagina’s, geïllustreerd, met index; uitgeverij William Heinemann, Londen, importeur: Nilson & Lamm, Weesp; ISBN 0434 09844 2; fl. 47,25 |