Een ode aan een bijzonder getal
De mens weet al zeker vier millennia dat de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een willekeurige cirkel constant is. Deze bijzondere constante, tegenwoordig pi genoemd, is net iets groter dan drie. Dat is met een eenvoudig meetlint te achterhalen. De zoektocht naar de exacte waarde bleek echter tevergeefs: het getal blijkt irrationaal: het is niet uit te drukken als breuk of met een eindig aantal decimalen. Dat heeft een aantal briljante wiskundigen er echter niet van weerhouden om een belangrijk deel van hun leven aan de zoektocht naar de waarde van pi te wijden. Een overzicht.

Uit de volgende passage uit de Bijbel (geschat op 600 voor Christus) lijkt af te leiden dat men in het Bijbelse Israël pi gelijk stelde aan 3:

‘Hij liet ook de Zee maken, een bekken van gegoten brons, vijf el hoog, met een middellijn van tien el en een omtrek van dertig el.’ (2 Kronieken 4:2)

Verdedigers van de onfeilbaarheid van de Bijbel verklaren deze onvolkomenheid wel door aan te nemen dat het bij de genoemde middellijn om de buitenmaat gaat, terwijl de omtrek van binnen gemeten zou zijn, wat een verhouding kleiner dan pi oplevert.

Al minstens duizend jaar eerder gebruikten de Babyloniërs voor pi de waarde 25/8 (= 3,125), een veel betere benadering dan die uit de Bijbel. Ook de oude Egyptenaren hadden hun eigen waarde (256/81 = 3,16) en in de klassieke Indiase tekst Shatapatha Brahmana is pi gelijk aan 339/108 = 3,139.

Archimedes
De meeste van deze waarden van pi zijn waarschijnlijk door nauwkeurige metingen verkregen. De eerste theoretische berekening lijkt die van Archimedes te zijn, uit de derde eeuw voor Christus. Bijzonder is dat hij geen exacte waarde pretendeert te geven, maar aangeeft dat pi ergens tussen 223/71 en 22/7 ligt. De methode die Archimedes gebruikte, is relatief eenvoudig, maar bijzonder arbeidsintensief. Zeker in zijn tijd: hij moest het doen zonder de hulp van goniometrische functies (sinus, cosinus en tangens).

Voor zijn berekening maakte Archimedes gebruik van het feit dat pi gelijk is aan de oppervlakte van een cirkelschijf met een diameter van 2. Die oppervlakte is uiteraard groter dan die van een vierkant dat in de cirkel past, en kleiner dan die van een vierkant die op zijn beurt om de cirkel heen past. Deze benadering kan worden uitgebreid naar steeds complexere veelhoeken, waardoor de werkelijke waarde van pi steeds dichter wordt benaderd. Archimedes zelf vond het wel genoeg geweest bij de 96-hoek (goed tot op twee cijfers na de komma), maar zijn Perzische navolger al-Kashi bereikte rond 1430 een nauwkeurigheid van veertien cijfers. Met de resultaten van al-Kashi treden we ook binnen in de wondere wereld van de ‘decimalen van pi ’.

Een inzending van de pi-fotowedstrijd: van klas 2 van het Maerlant-Lyceum in Den Haag.


Decimalen van pi
Vanaf de zeventiende eeuw werden in Europa formules opgesteld waarmee pi met grote nauwkeurigheid kan worden berekend, mits je bereid bent om heel veel termen van een reeks uit te rekenen en bij elkaar op te tellen. Een bekend voorbeeld (dat overigens al rond 1400 in India bekend was):

pi = 4/1 - 4/3 + 4/5 - 4/7 + 4/9 et cetera

Bij deze Gregory-Leibnitzformule heb je echter meer dan driehonderd termen nodig om pi tot op twee decimalen nauwkeurig te berekenen. Later zijn er complexere reeksen gevonden die veel sneller tot een goed resultaat leiden, maar de Duits-Nederlandse wiskundige Ludolph van Ceulen (de eerste wiskundehoogleraar in Leiden) wachtte daar niet op en gebruikte Archimedes’ geometrische methode om 35 decimalen te berekenen. Deze door noeste arbeid verworven getallen waren hem zo dierbaar dat hij ze in 1610 op zijn graf liet aanbrengen.

In 1873 voltooide de Engelsman Shanks een berekening van 707 decimalen. Hierbij viel op dat er relatief weinig zevens voorkwamen in het laatste deel van het getal. Pas in 1945 bleek dat Shanks na de 527ste plek een rekenfout had gemaakt zodat alle getallen die hij hierna uitrekende fout waren. Loos alarm dus: met computers is pi inmiddels tot op een biljoen (duizend miljard) decimalen berekend en tot dusverre blijkt de reeks volledig random, er is geen enkel patroon in te ontdekken. En dat draagt alleen maar bij aan de magie./.

Pi aan de TU/e

De liefde voor pi (en zijn broertje e, het grondtal van de natuurlijke logaritme) gaat diep bij Discrete Algebra en Meetkunde. Ze zijn zelfs terug te vinden in de koffiekamer. Promovendus ir. Jos in ’t Panhuis drukte met een collega koffieprijzen uit in combinaties van pi en e: “We hadden bepaald dat de prijs van de koffie in onze koffiekamer ergens tussen de vijf en tien cent zou moeten liggen, eigenlijk zo’n zeven cent. Maar dat vonden we zo’n lullig bedrag dat we het wat creatiever hebben aangepakt. En we hebben meteen ook maar formules bedacht voor het bier en de frisdrank.” De groepsleden hoeven niet per consumptie te betalen, en dat is maar goed ook, want zelfs de wiskundigen zijn door de bijzondere notatie af en toe de draad kwijt. “Ik heb echt geen idee meer wat ik betaal”, beweert aio Maxim Hendriks.

Emeritus hoogleraar wiskunde prof.dr.ir. Jan de Graaf raakt niet uitgesproken als hem naar de betekenis van pi wordt gevraagd. Hij betrekt al snel ook alle andere getallen in zijn verhaal. “Pi is zeker een bijzonder getal, hoewel niet zo belangrijk als het getal e, als je het mij vraagt. Dat getal speelt namelijk een rol bij het berekenen van samengestelde interest. Pi is net als e een irrationaal getal: dat betekent dat je het niet kunt schrijven als een breuk van twee gehele getallen, en het is ook nog eens niet-algebraïsch. Dat wil zeggen dat het geen oplossing is van een n-degraads vergelijking met gehele coëfficiënten. Daarmee is het getal transcendent.”

In de loop van zijn betoog herinnert De Graaf zich een anekdote over pi: “Mijn vader, die bij de spoorwegen werkte, volgde daar van tijd tot tijd avondcursussen. Op een dag kwam hij thuis met het verhaal dat pi gelijk was aan 22/7. Dat is ongetwijfeld nauwkeurig genoeg voor alle toepassingen bij de spoorwegen, maar toen ik het navroeg bij mijn onderwijzer -ik was elf- vertelde die dat dat niet helemaal klopte. Daar heb ik nog flink ruzie over gehad met mijn vader.”/.

Pi -dag

De internationale pi-dag kent zijn oorsprong in Amerika. In het San Francisco Exploratorium om precies te zijn. In 1987 bedacht de natuurkundige Larry Shaw daar dat het getal pi een jaarlijks ludiek en quasi-religieus ritueel verdiende. Vandaar dat sindsdien elk jaar in de derde maand, op de veertiende dag, pi-dag wordt gevierd.

De pi-aanbidders lopen op pi-dag in een cirkel rond een heilige representatie van pi en nemen toepasselijk voedsel tot zich: alles waarin het woord pi te ontdekken valt, zoals pizza, ananas (pineappel) en taarten (pies). Ook het maken van kralenkettingen waarbij elke kleur kraal voor een getal staat (uiteraard in de volgorde van de decimalen van pi) hoort bij de festiviteiten. Om 1:59 ’s middags komt de ceremonie tot een hoogtepunt (pi = 3,14159).

Tegenwoordig wordt pi-dag op diverse plekken in Amerika en daarbuiten gevierd, maar nog nauwelijks in Nederland. Onze concurrenten in Delft vormen hierin een gunstige uitzondering. Dit jaar schreef de TU Delft dit jaar een wedstrijd uit voor de beste lofzang op pi in 159(!) tekens, en er werd daar vorig jaar ook een pi-pie gegeten op 14 maart.

Voor de Amsterdamse natuurkundige Hans Wisbrun was dit niet voldoende. Hij ontketende daarom via zijn weblog een initiatief om pi-dag meer bekendheid te geven in Nederland. Onderdeel hiervan was een fotowedstrijd, waarvoor je een foto moest maken van een groep mensen in de vorm van pi.

Wisbrun vergaarde eerder al enige bekendheid als de bedenker van de chocolade-pi. Hij laat in een reactie weten erg tevreden te zijn over de media-aandacht die zijn actie heeft losgemaakt. De fotowedstrijd was volgens hem ook een succes: “We hebben zo’n veertig inzendingen binnengekregen, maar opvallend weinig vanuit de academische wereld. En ik houd nog wel altijd pleidooien voor de creativiteit van wetenschappers. Ik had niet verwacht dat een groep hoogleraren in toga in pi-formatie aan parachutes uit een vliegtuig zou springen, maar dit valt me toch wel tegen.” De enige academische bijdrage kwam van TU/e’er dr. Benne de Weger, die pi uitbeelde in legopoppetjes. Wisbrun zegt te hopen dat zijn initiatief volgend jaar wordt voortgezet. “Ik heb er dit jaar een flinke stoot aan gegeven, maar ik trek me nu wat terug: ik wil niet uitgroeien tot ‘mister pi’”./.

Weetjes over pi

Pi-dag valt samen met de verjaardag van Albert Einstein.

Er is ook een alternatieve pi -dag, de pi -benaderingsdag: op 22 juli (22/7).

De Britse autist-schrijver Daniel Tammet dreunde in 2004 op pi-dag meer dan twintigduizend decimalen van pi uit zijn hoofd op, dat kostte hem ruim vijf uur.

Dat is slechts het Europees record: het wereldrecord (goedgekeurd door het Guinness Book of Records) staat op naam van de Chinese student Lu Chao, die in ruim 24 uur 67.890 decimalen wist op te zeggen.

Voor de beginners: er zijn diverse ezelsbruggetjes bedacht om decimalen van pi te kunnen onthouden. Het zijn verhaaltjes waarin het aantal letters van een woord staat voor een decimaal van pi. Wat dacht u van deze: ‘How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics, and if the lectures were boring or tiring, then any odd thinking was on quartic equations again’ (pi = 3.14159 26535897932384626433832795).