Kun je bewijzen dat mensen van over de hele wereld elkaar via zes stappen kennen? Wat maakt Google zo efficiënt? Welke wiskundige modellen liggen hieraan ten grondslag? Interessante materie voor prof.dr. Remco van der Hofstad, sinds 2002 universitair hoofddocent bij de TU/e-faculteit Wiskunde & Informatica. Voor zijn onderzoeksvoorstel over het beschrijven van processen bij wiskundige modellen voor netwerken -zoals bijvoorbeeld het internet- kreeg hij onlangs een Vici-subsidie.

Puzzelen, puzzelen en nog eens puzzelen. Net zolang tot alle stukjes op hun plaats vallen. Dat doet Van der Hofstad het liefst en het maakt hem tot een wiskundige pur sang. Hij werkt vier dagen in de week aan de TU/e, als kernhoogleraar kansrekenen en statistiek, en één dag per week voor onderzoeksinstituut EURANDOM.

Van der Hofstad veroverde in 2003 ook al de Vidi-subsidie, die hij inzette om zich te richten op de structuur van complexe netwerken. De komende vijf jaar gaat hij ook aan de slag met de processen die onder die structuren liggen. Of, zoals hij het zelf formuleert: “Ik ga onderzoeken hoe het gedrag van het proces samenhangt met de eigenschappen van het netwerk.” Een vernieuwende aanpak volgens subsidieverstrekker NWO.

Met zijn onderzoek zit Van der Hofstad in de wereld van de ‘random grafen’- een graaf is het wiskundige woord voor een netwerk. Onderzoek naar ‘toevallige’ netwerken. Dit kunnen netwerken in de breedste zin van het woord zijn. “Op internet heb je netwerken. Maar je kunt ook kijken naar bijvoorbeeld netwerken en structuren van polymeren.” Kortom: naar alles waarvan je een lijn van een bepaald onderdeel naar een ander element zou kunnen trekken. Naast random grafie behoort ook percolatie -wiskunde van willekeurige verbindingen- tot de specialismen van Van der Hofstad. Beide domeinen vertonen veel raakvlakken. Het grootste verschil is dat percolatie gericht is op oneindige netwerken en random grafie op afgebakende netwerken.

Inmiddels zijn er al wel honderden netwerkmodellen, weet Van der Hofstad. Tijd volgens hem om te kijken welke gemene delers er zijn en in welke klassen de verschillende modellen zijn onder te verdelen. Ook wil hij modellen versimpelen en kijken welke parameters cruciaal zijn. Tenslotte wil hij de neuzen van random grafen dezelfde kant op proberen te krijgen en een vertaalslag maken naar toepassingen. Zijn ideaal is een goede wisselwerking tussen theorie en praktijk. “Wat random grafen doen, is vrij ontoegankelijk voor buitenstaanders. Ik wil die wiskundige wereld toegankelijker maken.”

Rond 1999 is er pas meer aandacht voor toepassingen gekomen. “Sinds de opkomst van het internet is het eenvoudiger om veel echte netwerken in kaart te brengen. De eerste studies, die rond 1999 verschenen, hebben veel stof doen opwaaien. De structuur was anders dan verwacht en verschilde nogal van de meeste ‘klassieke’ modellen. Dat heeft het vakgebied een grote push gegeven en vele wiskundige vragen en ook vragen uit de toepassingen opgeroepen. Welk model beschrijft een netwerk goed en waarom ziet een netwerk eruit zoals het eruit ziet?”

Gouden gids
Van der Hofstad wil de Vici-prijs onder meer inzetten om een systeem- een soort van gouden gids- te ontwerpen, met zowel netwerkmodellen als toepassingen. De wiskundige ziet legio voordelen aan een dergelijk systeem. “Je brengt de netwerkmodellen in kaart en kunt ze kwalificeren. Onderzoekers zien zo wat er al gedaan is en kunnen kijken of bepaalde modellen overeenkomsten vertonen. Degenen die in de praktijk met een bepaald onderwerp bezig zijn, kunnen kijken welke eigenschap van een netwerk het beste aansluit bij een bepaald model.” De ‘gouden gids’ zou op het internet moeten komen.

Hoewel de wiskundige zich de komende vijf jaar niet met toepassingen an sich gaat bezighouden, sluit hij niet uit dat hij datasets van onderzoekers gaat analyseren. “Ik ben er voorstander van het onderzoek te doen met mensen die de toepassing helemaal beheersen. Ik kijk er zelf in grotere algemeenheid naar.” Zo kan Van der Hofstad zich voorstellen dat onderzoekers willen weten op welke manier en hoe snel ziektes zich verspreiden. Om vervolgens met vaccinatiestrategieën aan de slag te gaan.

Ook sociale netwerken als Hyves bieden voldoende stof voor het uitpluizen van de netwerken en het toetsen en uitwerken van modellen. Van der Hofstad heeft geprobeerd om daar de data van te krijgen, maar dat is tot dusverre niet gelukt. “Je zou bijvoorbeeld kunnen kijken hoeveel krabbels mensen hebben. Hoe zit het netwerk in elkaar? Zijn er mensen die misschien weinig ‘vrienden’ hebben toegevoegd, maar wel gemeenschappen met elkaar verbinden? Dus mensen die als tussenpersoon fungeren. Welke wiskundige modellen kun je daaraan koppelen?”

Van der Hofstad ziet nog veel meer vragen om te beantwoorden: “Hoe ontwikkelt een netwerk zich? Lijkt het op buitenlandse netwerken? Zitten er verschillen tussen functionaliteiten? Wat gebeurt er als je het internet twee keer zo groot maakt? Hoe kun je verifiëren dat mensen wereldwijd via zes tussenpersonen een bekende tegenkomen? Waarom werkt een bepaald fenomeen zoals het werkt?”

Interessante vragen, die Van der Hofstad en zijn -deels nog te vormen- onderzoeksgroep zeker niet allemaal de komende jaren zullen beantwoorden, maar die wel de wiskundige wereld en de praktijk dichter bij elkaar zouden moeten brengen./.

Het staat wellicht in de schaduw van het broeikaseffect en het energieprobleem, maar het blijft een van de grote uitdagingen van het digitale tijdperk: hoe verzend je gegevens over het internet zonder dat een buitenstaander hiermee aan de haal gaat? Prof.dr. Andrea Fiore van Technische Natuurkunde zoekt de oplossing in de bizarre wetten van de kwantumfysica. Hiervoor moet hij individuele lichtdeeltjes kunnen manipuleren met optische schakelingen. Vorige maand kreeg de Italiaan de Vici-subsidie om zijn onderzoeksdroom te verwezenlijken.

De subsidie levert Andrea Fiore (38) genoeg middelen om onder meer drie promovendi en een postdoc-onderzoeker toe te voegen aan zijn nog jonge onderzoeksgroep. Fiore kwam in 2007 met twee promovendi, twee postdocs en een truck vol apparatuur vanuit het Zwitserse Lausanne naar de TU/e voor een hoogleraarpositie in de groep Photonics and Semiconductor Nanophysics. Fiore zegt niet lang geaarzeld te hebben over zijn keuze voor Eindhoven: “Het is sowieso een eer om in aanmerking te komen voor de functie van hoogleraar, maar de aanwezige faciliteiten waren voor mij de belangrijkste reden om naar Eindhoven te komen. Alleen bij sommige grote bedrijven hebben ze bijvoorbeeld vergelijkbare cleanrooms. En ook onze nieuwe laboratoria zijn uitstekend uitgerust.”
En goede faciliteiten zijn nodig om voor elkaar te krijgen wat Fiore in gedachten heeft: het creëren, manipuleren en detecteren van individuele lichtdeeltjes (fotonen), die dienst moeten doen als sleutels voor de codering van digitale informatie. Het bijzondere van kwantumsystemen -zoals fotonen- is namelijk dat je er geen meting aan kunt doen zonder dat het systeem verstoord raakt. Dat heeft tot gevolg dat je direct kunt zien of iemand het foton stiekem heeft onderschept, de informatie eruit heeft afgelezen, en het foton vervolgens weer heeft doorgestuurd. En dat is heel nuttig om te weten als het gaat om militaire geheimen of betalingsverkeer bij internetbankieren.

Luistervink
Hierbij is het van belang te bedenken dat de gevoelige informatie, laten we een creditcardnummer als voorbeeld nemen, versleuteld wordt overgestuurd. De ontvangende partij kan met behulp van de ‘sleutel’ vervolgens de boodschap decoderen en het oorspronkelijke nummer weer tevoorschijn toveren. Het versleutelde nummer wordt als een serie lichtpulsjes door een glasvezelkabel gestuurd, waarbij elk pulsje bestaat uit zo’n tienduizend identieke fotonen. Voor een luistervink is het in principe mogelijk om ongemerkt een paar fotonen uit de puls ‘af te tappen’ en te analyseren, zodat de overdracht alleen veilig is als de sleutel geheim blijft. Het nadeel van de huidige methoden is echter dat de sleutel door een luistervink met grote rekenkracht kan worden ‘gekraakt’.

Dit ‘luistervinkprobleem’ zou je kunnen oplossen door de sleutel -zelf ook een soort code- niet met standaard lichtpulsen, maar met losse fotonen te versturen. De ontvangende partij -de bank bijvoorbeeld- kan dan eerst controleren of niemand onderweg de sleutel heeft bekeken (je kunt immers zien of iemand het foton heeft bestudeerd) en dan groen licht geven aan de zender om het creditcardnummer door te sturen. Je zou kunnen zeggen dat het simpelweg onmogelijk is om fotonen af te tappen van een puls die maar uit een enkel foton bestaat, al is het achterliggende kwantumfysische principe iets subtieler: je kunt een foton niet meten zonder het te verstoren.

Het inzetten van losse fotonen is dus in principe een elegante oplossing voor het internetbeveiligingsprobleem. Maar in de praktijk is het erg lastig om met losse fotonen te werken. Zeker als het gaat om infrarood licht -de standaard in de telecombranche- waarvan de fotonen te weinig energie bevatten om met conventionele detectoren te worden waargenomen. Sinds enkele jaren is er echter een techniek voorhanden waarmee je de fotonen letterlijk kunt ‘tellen’. “Een groep in Moskou heeft een detector ontwikkeld op basis van supergeleidende stroomdraden”, vertelt Fiore. “Die geleiden elektrische stroom zonder weerstand, zolang de draden kouder zijn dan de zogeheten kritische temperatuur. Als er nu een foton op zo’n draad terechtkomt, wordt hij geabsorbeerd en de energie van het foton wordt omgezet in warmte. Als je het systeem goed afstelt, zorgt die warmte ervoor dat de temperatuur van de elektronen in de draad boven de kritische waarde komt, waardoor de draad niet langer supergeleidend is. De weerstand van de draad kun je heel nauwkeurig meten, en zo kun je de fotonen ‘zien’.” Fiore en zijn collega’s toonden afgelopen jaar aan dat je met deze methode zelfs het aantal fotonen dat wordt geabsorbeerd kunt tellen.

Robuust
Fiore noemt fotonen een relatief ‘robuust’ kwantumsysteem, vergeleken met bijvoorbeeld elektronen of atomen: “Je kunt fotonen over grote afstanden transporteren in een glasvezelkabel, zonder dat ze hun specifieke kwantumeigenschappen verliezen.” Als je een foton over honderden kilometers wilt versturen, moet het netwerk echter voorzien zijn van een soort versterkers om te voorkomen dat het foton ‘uitdooft’. “Je mag het eigenlijk geen versterkers noemen”, zegt de Italiaan. “Het signaal van het foton is zo zwak dat je met een versterker voornamelijk de ruis zou opblazen. Men gebruikt zogeheten quantum repeaters voor fotonen, maar daarvoor heb je fotonbronnen nodig die identieke lichtdeeltjes produceren.”

Daar is Fiore met zijn groep op dit moment druk mee bezig: ze zoeken naar een manier om quantum dots -piepkleine stukjes halfgeleidermateriaal die dienst doen als lichtbron- zo te maken dat ze ‘losse’, maar identieke fotonen uitzenden. Dat is lastig, want als je twee quantum dots maakt, zijn ze nooit helemaal identiek. En de fotonen die ze uitzenden daardoor ook niet. “Daarom proberen we de eigenschappen van de dots achteraf bij te stellen, bijvoorbeeld door ze bloot te stellen aan een elektrisch veld. Daarnaast plaatsen we de dots ook tussen twee spiegeltjes, waardoor ze efficiënter fotonen gaan uitzenden. Het is een uitdaging om deze technieken te combineren, maar we geloven dat het de beste manier is om quantum repeaters te bouwen.”

Vooralsnog vindt het creëren en detecteren van de fotonen plaats met een opstelling die diverse vierkante meters in beslag neemt en een apparaat bevat dat de detectiedraden koelt met vloeibaar helium. Niet erg praktisch voor het dagelijkse internetverkeer, geeft Fiore toe: “We willen daarom fotonbronnen en detectoren ontwikkelen die samen op een chip passen.” Met de Vici-subsidie kan hij de komende jaren volop aan de slag om dat doel te bereiken./.